a distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

• la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3, ...} o

• la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.

Cual de éstas es la que uno llama “la” distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

para n = 1, 2, 3, .... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

para n = 0, 1, 2, 3, ....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.

Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece “1” por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se encuentra en el conjunto infinito {1, 2, 3, ...} y es una distribución geométrica con p=1/6.

El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es 1/’p y su varianza es (1−p)/p2;

Equivalentemente, el valor esperado de una variable aleatoria distribuida geométricamente Y es (1−p)/p, y su varianza es (1−p)/p2.

La función generatriz de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene “memoria” de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3, ... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía

La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1, ..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.

Reglamento

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