Una expresión que se presenta frecuentemente en el estudio de series, sucesiones, permutaciones, etc., es el producto o multiplicación de números enteros y positivos empezando por el número N.

Ejemplo.- 4! = 4* 3 * 2 * 1 = 24

En general factorial se define como una expresión de forma: n! = 1.2.3 ... (n-1)*n

Para todo n entero natural, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los enteros entre 1 y n:

  n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n − 1) × n
  n! = ∏k = 1:n k.

Se impone 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

Los primeros factoriales son:

  1! = 1
  2! = 2
  3! = 6
  4! = 24
  5! = 120
  6! = 720
  7! = 5040
  8! = 40320
  ...

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

  (a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

  n! ≈ √(2πn) (n/e)n.

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción, y por lo tanto permite evaluar n! más rápidamente (aunque en forma aproximada) cuando mayor sea n.

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